선형대수(Linear Algebra)
- 벡터와 행렬 같은 수학적 대상들을 다루는 학문으로서, 머신 러닝 분야에서 필수적인 역할을 담당한다.
- 머신 러닝의 여러 알고리즘은 본질적으로 고차원 벡터 공간에서 일어나는 연산으로 해석될 수 있으므로, 선형대수를 이해하는 것은 모델의 작동 원리를 파악하고 성능을 최적화하는 데 큰 도움이 된다.
- 머신 러닝과 가장 밀접하게 연관된 선형대수의 핵심 개념과 그 활용 사례를 중심으로 설명해 보겠다.
1. 벡터와 행렬을 통한 데이터 표현
- 벡터 공간 표현
머신 러닝에서 데이터는 주로 벡터 형태로 표현됩니다. 예컨대, n차원 실수 공간(Rn)의 한 점으로서 샘플 한 개를 표현하고, 이를 여러 개 모으면 행렬로 묶어서 일괄 처리하게 된다.
이렇게 벡터 공간 관점에서 데이터를 다루면, 데이터 간 유사도(코사인 유사도 등), 거리(유클리드 거리) 등의 기본 연산을 수학적으로 명확히 정의할 수 있다. - 행렬을 통한 여러 샘플 처리
머신 러닝 알고리즘에서 한 번에 여러 샘플을 동시에 계산할 때, 관측치가 행(Row) 방향으로 늘어선 행렬 X와 예측해야 할 결과 벡터 y 등을 사용합니다. 예를 들어, 선형 회귀에서 y^=Xβ라는 꼴로 표현하는 식이 대표적이다.
2. 모델 수립에서의 선형 변환과 회귀
- 선형 모델
선형 회귀(Linear Regression), 로지스틱 회귀(Logistic Regression) 등 다양한 머신 러닝 기법이 선형 결합을 기본 구조로 갖고 있다.
예컨대, 특징 벡터 x와 파라미터 벡터 θ 사이의 내적 x⋅θ가 예측값의 기초가 된다. - 행렬 미분과 최적화
모델 학습 과정에서 비용 함수(Cost Function)를 최소화하기 위해, 가중치 행렬(혹은 벡터)에 대한 편미분 ∂/∂θ*J(θ)를 계산한다. 이때 행렬 미분, 그레디언트 계산, 야코비안(Jacobian)·헤시안(Hessian) 등 선형대수적 지식이 필수적입니다.
3. 차원 축소와 고차원 해석
- 고유값 분해(Eigenvalue Decomposition)와 특잇값 분해(SVD)
머신 러닝에서는 데이터 차원이 매우 클 때가 많으므로, 중요한 특징만 추출하기 위해 차원을 줄이는 기법이 필요하다. 이 과정에서 고유값 분해나 특잇값 분해가 핵심적으로 활용된다.- 특잇값 분해(SVD): 행렬 XX를 X=UΣV^T 형태로 분해하여, 데이터의 중요한 축들을 찾아낸다.
- 고유값 분해: 공분산 행렬이나 그래프 라플라시안 등에서 고유값, 고유벡터를 구해 데이터의 분산이 큰 축(주성분) 또는 핵심 구조를 파악한다.
- PCA(주성분 분석)
PCA는 데이터의 분산을 가장 많이 설명하는 축들을 찾아내어 차원을 축소하는 대표적 방법이다. 공분산 행렬 X^T X의 고유벡터를 구해 그에 대응하는 고유값이 큰 순으로 정렬함으로써, 데이터의 변동성을 크게 설명할 수 있는 주성분을 얻는다.
4. 신경망과 행렬 연산
- 퍼셉트론과 행렬 곱
인공신경망(Artificial Neural Network, ANN)은 입력 벡터 x\mathbf{x}에 가중치 행렬 WW를 곱해 선형 변환을 수행한 뒤, 비선형 활성화 함수를 적용하는 과정을 여러 층(layer)에 걸쳐 반복하는 구조로 되어 있다. 따라서 신경망의 순전파(forward propagation)와 역전파(backpropagation)는 사실상 대규모 행렬·벡터 연산의 집합이라고 할 수 있다. - 고차원 텐서 연산
딥러닝에서는 2차원 행렬을 넘어 3차원 이상의 텐서(tensor) 연산이 빈번하게 이루어진다(특히 CNN 등의 컨볼루션 연산). 하지만 결국 모든 고차원 텐서 연산도 선형대수의 확장된 형태이므로, 행렬 연산과 고유값·특잇값 개념을 이해하면 모델 구조와 학습 과정을 좀 더 수월하게 해석할 수 있다.
5. 의견 및 결론
선형대수는 머신 러닝 전체에 걸쳐 기반이 되는 필수 수학 중 하나이므로, 벡터·행렬 연산부터 고차원 텐서, 그리고 고유값 분해 및 특잇값 분해 같은 핵심 개념을 확실히 이해하는 것이 좋다. 이를 통해 데이터 구조를 더욱 정확히 파악하고, 효율적인 알고리즘 설계와 최적화 전략을 세울 수 있다.
- 추가 학습 추천:
- 행렬 미분, 야코비안, 헤시안 등을 체계적으로 복습하여 최적화 과정을 수월히 이해한다.
- 특잇값 분해(SVD), PCA 등의 차원 축소 기법을 심도 있게 익혀서 고차원 데이터나 노이즈가 심한 문제에 적용해본다.
- 선형대수 이론을 실제 계산 사례(파이썬 NumPy, MATLAB 등)와 함께 다루어, 수식과 알고리즘 구현 사이의 연결 관계를 몸에 익힌다.
이렇듯 선형대수는 머신 러닝 모델의 토대를 이루는 중요한 학문이므로, 데이터 표현 방식부터 차원 축소, 모델 최적화까지 전 과정에서 활발히 활용된다. 이를 충분히 숙지하면 복잡한 모델 구조를 간결하게 이해하고, 새로운 알고리즘을 설계하거나 개선할 때도 탄탄한 이론적 밑바탕을 마련할 수 있을 것이다.